Función cuadrática

Una función cuadrática es toda función que pueda escribirse de la forma f(x) = a x2 + b x + c, donde a, b y c son números cualesquiera, con la condición de que a sea distinto de 0 .

   Las funciones f(x) = x² + 6x,  g(x) = x²  + 16  y 
                       G(x) = - 100 x² + 2500 x + 15000

Son ejemplos de funciones cuadráticas.

Gráfica de las funciones cuadráticas

La función cuadrática más sencilla es f(x) = x² cuya gráfica es:

x	-3	-2	-1	-0'5	0	0'5	1	2	3
f(x) = x2	9	4	1	0'25	0	0'25	1	4	9

Funciones cuadráticas más complejas se dibujan de la misma forma.
Esta curva simétrica se llama parábola.

Dibujemos la gráfica de f(x) =  x²  -2 x - 3.

x	-1	0	1	2	3	4
f(x)	0	-3	-4	-3	0	5

Completando la gráfica obtengo:

Actividades resueltas

Dada la parábola  y = x²  - 4 x + 3, determina con precisión las coordenadas de los puntos de la figura:

a.   Del punto A(x,y) conocemos que x = 3'5. Como A es un punto de la parábola, sus coordenadas cumplirán la ecuación, es decir,
  y = 3'5 ² - 4·3'5 + 3 = 1'25. Por tanto, A = (3'5,1'25).

b.   Del punto B(x,y) conocemos que x = 7. Como B no pertenece a la parábola, no disponemos de ninguna relación que nos permita deducir y en función de x: no es posible conocer con precisión las coordenadas de B.

c.   El punto C(x,y) está situado sobre el eje de ordenadas, luego x = 0. Como también es un punto de la parábola, verificará y = 0² - 4·0 + 3 = 3 .
Luego C = (0,3).

d.   D = (x,5) pertenece a la parábola. Sustituyendo y por 5 en la ecuación
 de la parábola:

, que nos proporciona las soluciones aproximadas x = -0'45  y  x = 4'45 . Observando la gráfica se concluye que el valor adecuado es el segundo (¿por qué?).
 Luego D = (4'45,5).

e.   Los puntos E y F pertenecen al eje OX . Sus coordenadas serán de la forma (x,0) y por
ser de la parábola verificarán la ecuación de 2º grado x² - 4x + 3 = 0 ,
cuyas soluciones son x = 1 y x = 3.
 Por tanto, los puntos serán E = (1,0) y F = (3,0).

f.   Por la forma simétrica de la parábola, la abscisa de 
G = (x,y) es el punto medio del segmento , es decir, .
Sustituyendo este valor en la ecuación de la parábola, obtenemos su segunda coordenada
  y = 2² - 4·2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1. Luego G = (2,-1).

g.   Calculemos las coordenadas del punto H´(x,y) de la parábola que está
"justo encima" de H.

Como x = 5, entonces y = 5² - 4·5 + 3 = 25 - 20 + 3 = 8 ,
es decir, H´= (5,8).
H tiene igual abscisa 5 y su ordenada es 6 unidades menos que H´, por tanto,
 H = (5,2).

h.   Calculamos las coordenadas del punto I´(x,7) que está
 en la parábola "justo a la derecha" de I. Como pertenece a la parábola , 

cuyas soluciones aproximadas son x = -0'88 y x = 4'83. I tiene la misma ordenada 7 y
su abscisa es 4'2 unidades menos que la abscisa de I´, es decir,
I = (0'63,7).

Determina, por este orden, las coordenadas de los puntos A, B, el vértice V y el punto C
de la parábola

y = x² - x + 1 .

a.   A está situado en el eje Y, es decir sus coordenadas son de la forma A(0,y). Puesto que A pertenece a la parábola, y = 0²- 0 + 1, y = 1. Luego A = (0,1).

b.   B ha de ser de la forma (x,1), por tanto, 1 = x² - x + 1; 0 = x²- x,
0 = x · (x - 1) de soluciones x = 0 y x = 1. Luego B = (1,1).

c.   La 1ª coordenada del vértice está situada en el punto medio del segmento 
de extremos 0 y 1, es decir, 

La 2ª coordenada se obtiene con la ecuación y = (0'5)²- 0'5 + 1 = 0'75. 
Las coordenadas del vértice serán V = (0'5,0'75)

d.   Utilizando la simetría de la parábola puedo calcular la 1ª coordenada de C,
 x = 2. Por lo tanto, y = 2²-2+1=3. C = (2,3).

Este método se puede generalizar a cualquier parábola de ecuación
 y = ax² + bx + c y nos permitirá hallar el vértice de forma inmediata.

Obtención general del vértice

Sea la parábola y = ax² + bx + c

Localizado el corte con el eje Y, (0,c) hallamos su simétrico resolviendo el sistema .

Igualando:

a x² + b x + c = c → a x²  + b x = 0  → x (a x + b) = 0; es decir,
 x = 0 ó ax + b = 0 que nos lleva a la solución x = -b/a.

La primer coordenada del vértice coincide con el punto medio del segmento de extremos 0 y - b/a, es decir, p = - b/2a

Ejemplo

Si  f(x) = x² + 4 x + 3, entonces  y f(2) = -1. 
Y el vértice será V = (2,-1).

Actividad

Dada la parábola  y =- x² + 2 x + 3 , determina la coordenadas de los puntos indicados.

Cortes con los ejes

Observa las parábolas:

a.    y = - x² + 2x + 3

Los puntos de corte con el eje X son de la forma (x,0). Sustituyendo y por 0
 en la fórmula obtenemos la ecuación de 2º grado - x² + 2x + 3 = 0,
 cuyas soluciones son x = -1, y x = 3.

Los puntos de corte son (-1,0), (3,0).

El punto de corte con el eje Y se obtiene haciendo x = 0 en la ecuación de la parábola. Por tanto, será (0,3).
b.    y = x² - 4x + 4

Puntos de corte con el eje X:

Resolviendo la ecuación x² - 4x + 4 = 0, se obtiene como única solución x = 2, que nos proporciona un solo punto de corte con el eje X :(2,0).

Punto de corte con el eje Y: (0,4).

c.   y = x² - 2x + 3

Puntos de corte con el eje X:

Si resolvemos la ecuación x² - 2x + 3 = 0 obtenemos que 

 No existe solución y, por lo tanto, no tiene cortes con el eje X.

Punto de corte con el eje Y: (0,3)

Actividades
Determina los cortes con los ejes de las parábolas siguientes:

a.   y = 2x² -14x + 24         b.   y = 5x² - 10x + 5     
 c.   y = 6x² + 12               d.   y = 3(x - 2)(x + 5)     
 e.   y = 3(x - 2)²                f.   y = 3(x² + 4)

 Determina la ecuación de una parábola cuyos cortes con el eje X sean
 los puntos (1,0) y (3,0).

Determina la ecuación de la parábola cuyos cortes con el eje X sean
los puntos (-2,0) y (3,0) y con el eje Y sea (0,4).

Determina la ecuación de una parábola que corte al eje X en el punto (2,0)
 y al eje Y en (0,6).

Influencia de los parámetros en la gráfica de las funciones cuadráticas

Parábolas del tipo y = ax² (b = 0 , c = 0)

Las parábolas de ecuación y = ax2 tienen por vértice el punto V(0,0). Cuanto mayor sea a (en valor absoluto), más cerrada será la parábola. Las ramas van hacia arriba si a > 0 o hacia abajo si a < 0.

Un resultado importante
La forma de una parábola depende única y exclusivamente del coeficiente a de x², es decir, cualquier parábola del tipo y = ax² + bx + c tiene la misma forma que la parábola y = ax².

Por ejemplo:

La parábola y = 2x²-16x + 35 tiene la misma forma que y = 2x²; encajan perfectamente una encima de la otra como puedes comprobar si dibujas las dos parábolas.

Al someter la parábola y = 2x²-16x + 35 a una traslación de vector (4,3), que son las coordenadas de su vértice, obtenemos la parábola y = 2x².

Las parábolas y = ax2 + bx + c tienen la misma forma que las parábolas del tipo y = ax2.

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